logo
Методичка Основи супільної географії

Практичне заняття 13. Оцінка транспортної доступності міст із застосуванням теорії графів

І. Завдання:

сформувати поняття „граф”; познайомитися с основами теорії графів; вивчити способи використання теорії графів для кількісного аналізу суспільно-географічного положення; розглянути використання теорії графів в оцінці транспортної доступності міст; навчитися будувати графи, матрицю найкоротших відстаней; навчитися обчислювати коефіцієнт положення та давати йому інтерпретацію.

Теоретичні засади та порядок виконання роботи:

відношення географічного положення допускають просту й ефективну формалізацію у вигляді так званих графів. Множину географічних об'єктив - міст, регіонів, країн - показують точками (вершини графа), а відношення між ними - потоки вантажів і пасажирів, товарів, енергії, фінансів, інформації, управління - представляють лініями (ребра або дуги графа). Спеціальний розділ математики - теорія графів - дозволяє обчислити для графа різноманітні параметри, що характеризують участь вершин і ребер у різноманітних зв'язках і відношеннях.

Розглянемо прості приклади. На рисунку показаний граф, що формалізує мережу залізниць між містами: 1. Севастополь, 2. Сімферополь, 3. Херсон, 4. Запоріжжя, 5. Миколаїв, 6. Дніпропетровськ, 7. Кіровоград, 8. Черкаси. Вже візуально можна помітити, що одні міста (вершини) розміщені більш "центрально", а інші - більш "периферійно". Спробуємо таку різницю виразити в числах, кількісно. Зверніть увагу, що такий аналіз не потребує реальних віддалей пропускної здатності доріг, вантажо- чи пасажиропотоків. Основою обчислень виступає наявність-відсутність зв'язків, і тільки. Одиниця обчислень - ребро графа, тобто лінія між двома його вершинами. Це безрозмірна або топологічна одиниця, що немає метричного виміру.

Обчислимо для кожного міста суму його топологічних віддалей до інших міст і представимо їх у вигляді матриці найкоротших відстаней //L//.

L1

L2

L3

L4

L5

L6

L7

L8

L

Кі

1

-

1

2

2

3

3

4

5

20

1,4

2

1

-

1

1

2

2

3

4

14

1,0

3

2

1

-

2

1

3

2

3

14

1,0

4

2

1

2

-

3

1

2

3

14

1,0

5

3

2

1

3

-

2

1

2

14

1,0

6

3

2

3

1

2

-

1

2

14

1,0

7

4

3

2

2

1

1

-

1

14

1,0

8

5

4

3

3

2

2

1

-

20

1,4

Числа цієї матриці показують топологічну віддаль (за кількістю ребер) для кожної пари міст (вершин графа). Наприклад, найкоротша віддаль між вершинами 1 і 3 становить 2 ребра, між вершинами 3 і 6 — 3 ребра, між вершинами 2 і 8 — 4 ребра і т.д.

У двох останніх стовпчиках наведені суми найкоротших віддалей (сума L) для кожної вершини та відносні оцінки - коефіцієнти положення різних міст (Кі) у даній транспортній системі. Як бачимо, сума найкоротших відстаней має значну амплітуду: найменшу суму (14) мають вершини 2 – 7, найбільшу (20) — вершини 1 і 8. Коефіцієнти транспортно-географічного положення міст (Кі) обчислені порівнянням сум віддалей з мінімальною.

Ki = (L)i / (L)min

Вони показують різну транспортну доступність окремих міст порівняно з центральними, які мають Кі = 1,0. У теорії графів - це так званий індекс доступності вершин. Його можна змістовно інтерпретувати так: для того щоб забезпечити взаємодію всіх міст даної транспортної системи між собою, найменші транспортні витрати матимуть міста 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Кі = 1,0), міста 1 та 8 матимуть витрати в 1,4 рази більші (Кі = 1,4). Зрозуміло, що такі оцінки мають гіпотетичний характер. Кожне місто само визначає для себе спектр потрібних зв'язків. Проте ми маємо своєрідну кількісну оцінку транспортно-географічного потенціалу кожного міста, яка не може не позначитися на його розвитку.

ІІ. Завдання для самостійного виконання студентами (за картосхемою мережі залізниць України, див. додаток 1):

Варіант 1

  1. Накресліть граф транспортної мережі, що формалізує мережу залізниць між містами: 1. Київ, 2. Житомир, 3. Чернігів, 4. Суми, 5. Харків, 6. Полтава

  2. Побудуйте відповідну матрицю найкоротших відстаней.

  3. Підрахуйте суму найкоротших віддалей (L) для кожної вершини.

  4. Обчисліть коефіцієнти положення кожного міста (Ki) у даній транспортній системі.

  5. Зробить висновки про доступність міст, давши інтерпретацію отриманим коефіцієнтам положення.

Варіант 2

  1. Накресліть граф транспортної мережі, що формалізує мережу залізниць між містами: 1. Ужгород, 2. Львів, 3. Тернопіль, 4. Хмельницький, 5. Чернівці, 6. Івано-Франківськ

  2. Побудуйте відповідну матрицю найкоротших відстаней.

  3. Підрахуйте суму найкоротших віддалей (L) для кожної вершини.

  4. Обчисліть коефіцієнти положення кожного міста (Ki) у даній транспортній системі.

  5. Зробить висновки про доступність міст, давши інтерпретацію отриманим коефіцієнтам положення.

Варіант 3

  1. Накресліть граф транспортної мережі, що формалізує мережу залізниць між містами: 1. Луганськ, 2. Донецьк, 3. Харків, 4. Полтава, 5. Дніпропетровськ, 6. Запоріжжя

  2. Побудуйте відповідну матрицю найкоротших відстаней.

  3. Підрахуйте суму найкоротших віддалей (L) для кожної вершини.

  4. Обчисліть коефіцієнти положення кожного міста (Ki) у даній транспортній системі.

  5. Зробить висновки про доступність міст, давши інтерпретацію отриманим коефіцієнтам положення.

Рекомендована література:

  1. Березина Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей – М., 1979.

  2. Голиков А. П., Трофимов А. М., Черванёв И. Г. Математические методы в географии – Х, 1986.

  3. Михеева В. С. Математические методы в экономической географии. Ч. 2. Приложение теории графов: Курс лекций – М., 1983.

  4. Топчієв О. Г. Основи суспільної географії – Одеса, 2001.